有限而無邊的宇宙

愛因斯坦發表廣義相對論後，考慮到萬有引力比電磁力弱得多，不可能在分子、原子、原子核等研究中產生重要的影響，因而他把注意力放在了天體物理上。他認為，宇宙才是廣義相對論大有用武之地的領域。

愛因斯坦1915年發表廣義相對論，1917年就提出一個建立在廣義相對論基礎上的宇宙模型。這是一個人們完全意想不到的模型。在這個模型中，宇宙的三維空間是有限無邊的，而且不隨時間變化。以往人們認為，有限就是有邊，無限就是無邊。愛因斯坦把有限和有邊這兩個概念區分開來。

一個長方形的桌麵，有確定的長和寬，也有確定的麵積，因而大小是有限的。同時它有明顯的四條邊，因此是有邊的。如果有一個小甲蟲在它上麵爬，無論朝哪個方向爬，都會很快到達桌麵的邊緣。所以桌麵是有限有邊的二維空間。如果桌麵向四麵八方無限伸展，成為歐氏幾何中的平麵，那麽，這個歐氏平麵是無限無邊的二維空間。

我們再看一個籃球的表麵，如果籃球的半徑為r，那麽球麵的麵積是4πr＼＋2，大小是有限的。但是，這個二維球麵是無邊的。假如有一個小甲蟲在它上麵爬，永遠也不會走到盡頭。所以，籃球麵是一個有限無邊的二維空間。

按照宇宙學原理，在宇觀尺度上，三維空間是均勻各向同性的。愛因斯坦認為，這樣的三維空間必定是常曲率空間，也就是說空間各點的彎曲程度應該相同，即應該有相同的曲率。由於有物質存在，四維時空應該是彎曲的。三維空間也應是彎的而不應是平的。愛因斯坦覺得，這樣的宇宙很可能是三維超球麵。三維超球麵不是通常的球體，而是二維球麵的推廣。通常的球體是有限有邊的，體積是3／4πr＼＋3，它的邊就是二維球麵。三維超球麵是有限無邊的，生活在其中的三維生物(例如我們人類就是有長、寬、高的三維生物)，無論朝哪個方向前進均碰不到邊。假如它一直朝北走，最終會從南邊走回來。

宇宙學原理還認為，三維空間的均勻各向同性是在任何時刻都保持的。愛因斯坦覺得其中最簡單的情況就是靜態宇宙，也就是說，不隨時間變化的宇宙。這樣的宇宙隻要在某一時刻均勻各向同性，就永遠保持均勻各向同性。

愛因斯坦試圖在三維空間均勻各向同性且不隨時間變化的假定下，求解廣義相對論的場方程。場方程非常複雜，而且需要知道初始條件(宇宙最初的情況)和邊界條件(宇宙邊緣處的情況)才能求解。本來，解這樣的方程是十分困難的事情，但是愛因斯坦非常聰明，他設想宇宙是有限無邊的，沒有邊自然就不需要邊界條件。他又設想宇宙是靜態的，現在和過去都一樣，初始條件也就不需要了。再加上對稱性的限製(要求三維空間均勻各向同性)，場方程就變得好解多了。但還是得不出結果。反複思考後，愛因斯坦終於明白了求不出解的原因：廣義相對論可以看作萬有引力定律的推廣，隻包含“吸引效應”不包含“排斥效應”。而維持一個不隨時間變化的宇宙，必須有排斥效應與吸引效應相平衡才行。這就是說，從廣義相對論場方程不可能得出“靜態”宇宙。要想得出靜態宇宙，必須修改場方程。於是他在方程中增加了一個“排斥項”，叫做宇宙項。這樣，愛因斯坦終於計算出了一個靜態的、均勻各向同性的、有限無邊的宇宙模型。一時間大家非常興奮，科學終於告訴我們，宇宙是不隨時間變化的，是有限無邊的。看來，關於宇宙有限還是無限的爭論似乎可以畫上一個句號了。