第八輯 鬥雞博弈的根本性原則
博弈的理論有時十分抽象，諸如“蜈蚣博弈”；有時又具體得是生活中常見的遊戲，最明顯的，就是“鬥雞博弈”。
鬥雞博弈也是博弈論中的一個模型，描述的就是兩個強者在對抗衝突的時候，如何能讓自己占據優勢——這裏的優勢，並不是簡單的吃掉對手或者打垮敵人，而是要力爭自己不受傷害，至少是不受大傷害，同時獲得收益。
鬥雞博弈是雙方都處於一個“勢”之下，這個“勢”就是互不相讓，劍拔弩張的局勢。而且，在這種博弈形式中，雙方勢均力敵，沒有出現一邊倒的情況，這就好像兩個武林高手比拚內功一樣，難分高下，而且誰都不能先停止攻擊，否則就要被對方一舉擊潰。換言之，鬥雞博弈有點類似於我們平時所說的“騎虎難下”的局麵。
鬥雞博弈之中的關鍵，就是在雙方力量對比相差不大的情況下，如何猜測到對方的對策，從而製定出能夠克製對方的策略來獲得勝利。如果不能猜測到對方下一步會如何行動，那麽隻能硬碰硬地進行決鬥，這樣的話，即使獲勝，也要付出極大的代價，這種結果自然是博弈者不願接受的。
因而，在麵對鬥雞博弈的時候，最常用的一種思維，就是經濟學裏麵一再強調的“損失最小化，利益最大化”，圍繞著這個根本性的原則，在具體的模式下，進行自己的策略選擇，或者和對方達成諒解互不損傷，或者是要兩敗俱傷，或者是一方失敗一方勝利，關鍵就在於策略的運用和運用策略能為自己帶來的利益程度。
正確認識風馬牛
在兩個強者發生衝突的時候，如何想辦法讓自己不受損失，在博弈論看來，這就是鬥雞理論的現實應用。所謂鬥雞理論就是實力相當的雙方在發生衝突以前需要選擇的策略理論，就如兩隻實力相當的鬥雞，如果它們雙方都選擇前進，那就隻能是兩敗俱傷；如果一方前進，另一方後退，那麽後退的一方就失了麵子；如果雙方都選擇後退，那麽雙方都失了麵子，但都沒有損傷。在博弈論上，就出現了一個嚴格優勢策略：一方選擇前進，一方選擇後退。前進的一方可以獲得最大的收益值，而後退的一方也不會損失太大，因為失去麵子總比傷痕累累要好得多。我國古人雖然沒有學習過博弈論，但這一原理在我國古代曆史上早已經得到過很好地應用了，在春秋爭霸時期，齊楚兩個強國之間的爭鬥最終就是這樣解決的。
當時齊桓公正打著“尊王攘夷”的旗號，首先幫助燕國打敗山戎。此後，邢國也遭到另一個部落狄人的侵犯。齊桓公又帶著人馬去趕跑了狄人，幫助邢國重築了城牆。接著，狄人又侵犯衛國，齊桓公幫助衛國在黃河南岸重建國都。就因為這幾件事，齊桓公的威望就提高了，想做中原霸主的欲望也就更加堅定了。隻有南方的楚國（都城在今湖北江陵西北），不但不服齊國，還跟齊國對立起來，要跟齊國比個高低。齊國如果要稱霸中原的話，就必須收服楚國，這樣，齊楚就形成了鬥雞的局麵。楚國在中國南部，向來不和中原諸侯來往。
那時候，中原諸侯把楚國當做“蠻子”看待。但是，楚國人開墾南方的土地，逐步收服了附近的一些部落，慢慢地變成了大國，後來，幹脆自稱楚王，不把周朝的天子放在眼裏。最重要的是，它也不把齊國放在眼裏，這就成了齊國稱霸中原的最大阻礙。齊楚兩國相隔很遠，發生戰爭是比較困難的，但由於上述原因，空間上的距離就被利益上的交錯而拉近了，更何況齊桓公是打著“尊王攘夷”的旗號來實現他的霸主地位的，那麽楚國對周天子的不敬，就是對他的不敬，更是對他的一種挑釁，對楚國這一戰是必須要打的，至於如何收場，那就要視情況而定了。於是齊國發動了對楚國的進攻。
公元前656年，齊桓公約會了宋、魯、陳、衛、鄭、曹、許七國軍隊，聯合進攻楚國。楚成王得知消息，也集合了人馬準備抵抗。但他分析了雙方的實力，覺得與齊國直接交戰，對楚國並沒有好處，甚至不利於楚國的發展，他在心裏是極希望齊國退兵的。但如果真要打起來的話，那就隻能兩敗俱傷了，誰也得不到好處。因此他一邊積極備戰，一邊又派了使者去見齊桓公。楚國的使者對齊桓公說：“我們大王叫我來問問，你們齊國在北麵，我們楚國在南麵，兩國素不往來，真的可以說是風馬牛不相及。為什麽你們的兵馬要跑到我們這兒來呢?”楚國使者說得本來是事實，但他卻忘了國與國之間的距離不是以空間距離來劃分的，而是以利益值來進行衡量的。風馬牛是不相及，但“風馬牛”的主人卻可以相連，發生利害關係。
聽了楚國使者這一番話後，管仲立刻反擊說：“我們兩國雖然相隔很遠。但都是周天子封的。當初齊國太公薑尚受封的時候，曾經接受了一個命令：誰要是不服從周天子，齊國就有權去征討它。你們楚國本來每年向天子進貢包茅（用來濾酒的一種青茅），為什麽現在不進貢呢?”管仲話裏的潛台詞是：不是我們齊國要來攻打你們楚國，而是周天子派我們來征討你們楚國，所以我們是正義之師，師出有名。齊國真是師出有名嗎?不進貢能夠成為攻打楚國的理由嗎?其實當時諸侯國不向周天子進貢已經是不爭的事實，更何況秦國和晉國也不進貢，你齊國為什麽不攻打它們呢?從這裏我們可以看出管仲話語邏輯上的不周，是一個有很多破綻的理由。
但楚國使者不知是給嚇住了還是由於太希望齊國退兵亦或本身口才就不行，竟然說：“沒進貢包茅。這是我們的不是。以後一定進貢。”楚國雖然已經承認了錯誤，但齊國的聯軍不能就這樣撤退，如果僅憑使者的一句話就撤退了的話，那這場戰爭的收益值也太小了點吧，並且也太沒有麵子了。最主要的是鬥雞場上，齊國這隻鬥雞還不能接受這樣的距離，也還沒有到楚國那隻鬥雞不能忍受的距離。理所當然齊國會選擇鬥雞定律中的繼續前進了，這雖然有兩敗俱傷的可能，但如果不前進，也就不能完全使楚國屈服，所以要獲得最理想的未來收益值也就隻有冒風險了。正是基於這樣的原則和策略，在使者走後，齊國和諸侯聯軍又拔營前進。一直到達召陵。
二虎相爭，必有一傷，如果雙方都明白這一點，那麽誰都不願意成為犧牲者。可是更多的時候人們都過於自負，覺得自己會取得勝利，所以，隻要把形勢說明，讓他覺得自己沒有穩操勝券的能力，僵持不下的鬥雞博弈就會被化解了。
此時，楚國受到了很大的威脅，再也不能退了，一退的話就要挨宰，再沒有原則，也還是隻鬥雞呀。因此，楚成王派出了第二個使者，這一次，他派了屈完去探問。
齊桓公為了顯示自己的軍威，請屈完一起坐上車去看中原來的各路兵馬。屈完一看，果然軍容整齊，兵強馬壯。齊桓公趾高氣揚地對屈完說：“你瞧瞧，這樣強大的兵馬，誰能抵擋得了?”齊桓公想以武力來達到不戰而屈人之兵的目的，獲得前進中鬥雞的最大收益值。其實齊桓公也給屈完提供了一個信息：我們也不想跟你們楚國打仗，但你們的行為太不尊重我了，現在你們得給我一點賠償，至於如何賠，那就看你們的行動了。
屈完正是看穿了齊桓公這一點，說：“君侯協助天子，扶助弱小，講究道義，那樣人家才會真心真意地佩服你。要是光憑借武力使人屈服的話，那麽，我們楚國雖然國力不強，但是卻可以用方城（楚國所築的長城，在今河南方城北至泌陽東北）做城牆，用漢水做壕溝。您就是再多帶些人馬來，也未必能打得進去。”屈完的潛台詞是：楚國不是嚇大的，你們有實力，我們的實力也不比你們差，真要打起來，你們也未必就能夠沾多大的光，你們想到楚國來占便宜，那是打錯了算盤，大家如果好好談的話，那還有和平解決的希望。當然這是以楚國真正的國力來說話的，這在博弈論中，也是運用話語威脅或聲明的策略，可謂針鋒相對，不卑不亢。
齊桓公聽屈完說得挺強硬，心裏有點不高興，可是他估計真要打起來也未必能輕易打敗楚國，到時還會陷於兩難的境地：進，需要投入更多的人力財力；退，那就是前功盡棄，盡遭天下人恥笑。如是那樣的話就會使齊國損失更大，那才真叫偷雞不成反蝕一把米了。而且現在楚國已經認了錯，答應進貢包茅，這已算有了足夠的麵子了，更何況還在楚國的邊境內跟楚國訂立盟約，這幾乎就在說楚國承認了齊國霸主地位一樣了。因此，中原八國諸侯和楚國一起在召陵訂立了盟約，楚國表麵上承認了齊國的霸主地位，然後各諸侯國退兵回國去了。
在齊楚兩國的爭霸中，兩隻鬥雞之所以選擇了一進一退的嚴格優勢策略，是因為齊這隻鬥雞要比楚國這隻鬥雞稍稍的要強大些，因為它帶有七國聯軍，國力和軍力都稍占了優勢，但不是絕對的優勢，這也是後來簽訂和約的根本原因。在這場博弈中，楚國雖然認錯了，失去了麵子，但也不是失去了很多，更何況保全了國家，這正是兩害相較取其輕；齊國也得到了形式上的收益值——楚國表麵上承認了它的霸主地位。
由此我們可以看出，在現實中運用博弈論中的鬥雞定律，是要遵循一定條件和規則的。哪一隻鬥雞前進，哪一隻鬥雞後退，不是誰先說就聽誰的，而是要進行實力的比較，誰稍微強大，誰就有更多的前進機會；但這種前進並不是沒有限製的，而是有一定的規則的，那就是前進和後退都是有一定的距離的，而且這個距離是兩隻鬥雞都能夠接受的，一旦超過了這個界限，隻要有一隻鬥雞接受不了，那麽鬥雞定律中的嚴格優勢策略也就不複存在了。
低姿態地進行調查
兩隻鬥雞在鬥雞場上要作出嚴格優勢策略的選擇，有時並不是一開始就作出這樣的選擇的，而是要通過反複的試探，甚至是激烈的爭鬥後才會作出嚴格優勢策略的選擇，一方前進，一方後退，也是符合鬥雞定律的。因為哪一方前進，不是由兩隻鬥雞的主觀願望決定的，而是由雙方的實力預測所決定的。當兩方都無法完全預測雙方實力強弱的話。那就隻能通過試探才能知道了，當然這種試探是要付出相當大的代價的。在社會曆史中，以這種形式運用鬥雞定律卻比直接選用嚴格優勢策略的形式要常見得多，這可能是由人有複雜思維和更多的欲望所決定的吧。春秋後期，吳越之間的抗衡就屬於這種情況。
公元前496年越王允常病死，他的兒子勾踐繼位。吳王闔閶想趁越國新喪國君，人心不穩的機會，徹底打敗和滅亡越國，於是起兵攻打越國。吳越兩軍在槁李（今浙江嘉興南）展開了激戰。吳國的軍隊陣列整齊嚴肅，越王勾踐派敢死隊衝鋒失敗，就改用罪人在陣前集體自殺，吸引吳軍的注意力，然後趁機突襲吳軍。越將靈姑浮揮戈刺傷吳王闔閭，吳軍敗退，闔閶死於途中，其子夫差繼位。在這場戰爭的博弈中，越國這隻鬥雞就進行了力量的試探，當它覺得吳國這隻鬥雞很強大時，覺得如果硬拚的話，要麽兩敗俱傷，要麽會被吳國打敗。但是此時吳國卻沒有給越國這隻鬥雞留下選擇後退的機會，因此單方麵的被打敗以致滅亡這是越國的劣勢策略，所以越國隻有選擇進攻。但進攻又有硬拚和智取的選擇，而隻要能夠智取，誰都不會去選擇硬拚，當然，吳國的君臣也並非任人耍弄的孩童，一般的方法是起不到智取的作用的，何況它軍中還有一個伍子胥呢，因此，一切的計謀都要能夠一時讓吳國人無法看穿，才能夠得逞。於是越國選擇了讓敵人在陣前因吃驚而分心的策略。讓本國的死罪犯人在陣前集體自殺，這可是前無古人後無來者的策略（這策略隻能用一次），以至使吳國人大為吃驚，伍子胥也猜不透越王葫蘆裏究竟賣的是什麽藥。
可就在他們驚疑之際，越國的軍隊已經殺向了他們，吳國人因分心而被越國軍隊殺了個措手不及，結果大敗。吳王闔閶真是偷雞不成反蝕了一把米。總而言之，兩隻鬥雞都向前時，那就是比拚力量和智慧的時候了，在戰爭中就更是如此。這裏它們的博弈矩陣為：
從矩陣中我們可以看出，在當時越國是沒有後退的餘地的，但因為當時越國主動進攻的條件還不具備，這其實也把越國置於絕地。因此也就更會想辦法來保存自己，也由此變不利條件為有利條件，從而大敗了吳國。
闔閶臨終之前，囑托兒子夫差一定要為他報仇而滅掉越國，吳越之間的爭鬥變成了兩國之間的仇殺。夫差為報殺父之仇，於是勵精圖治。他害怕自己忘記了報仇的遺命，所以就派專人侍立宮門，每逢夫差出入，便發問：“夫差，越王殺害你父親的仇恨你忘掉了嗎?”夫差則回答：“是，不敢忘!”還叫伍子胥和另一個大臣伯豁操練兵馬，準備攻打越國。
過了兩年，吳王夫差親自率領大軍去攻打越國。當時越國有兩個很能幹的大夫，一個叫文種，一個叫範蠡。範蠡對勾踐說：“吳國練兵快三年了。這回決心報仇，來勢凶猛。咱們不如守住城，不要跟他們作戰。”範蠡對吳國實力的預測是正確的，這也是在分析自己實力的基礎上而得出的正確結論。可是勾踐不同意，也派大軍去跟吳國人拚個死活。兩隻鬥雞就這樣拚上了。兩國的軍隊在夫椒（太湖一帶的古山名）進行了決戰，越軍果然大敗。越王勾踐僅剩五千人，被吳軍包圍在會稽山上。越王勾踐一籌莫展，後來範蠡勸他向吳王求和。文種、範蠡最終說服了勾踐忍辱圖存，厚賂吳王夫差的寵臣伯豁，向吳王求和。越王派文種到吳營求和，文種首先承認了越國的錯誤，並說明了越王求和的意向。此時吳王有兩種選擇：答應或不答應。而文種也分析了吳王的兩種選擇，如果吳王答應了越國的請求，越國的一切珍珠寶貝和美人都屬於吳王，並且越國向吳國稱臣，而且吳國也不用再損失軍隊了，這是給出了答應的收益值；如果吳王不答應的話，越王將采用玉石俱焚的策略，毀掉一切珍珠寶貝，殺死所有的美人，然後與吳國血戰到底，拚個魚死網破，這是不答應的懲罰。
從現實收益值來看，答應是優勢策略，更何況還有一個伯豁在為越王說好話，所以吳王想同意越國的請求。但吳相國伍子胥表示反對，他舉夏代少康中興的故事，勸告吳王，消滅越國，以絕後患。伍子胥是在分析了雙方的實力和比較了現實收益值與未來收益值的差別的基礎上來進行勸告的。可惜吳太宰伯豁既貪圖越王勾踐的財物，又嫉妒相國伍子胥的功勞，極力慫恿吳王答應越國的請求。吳王夫差終於允許求和。這裏的博弈矩陣又變為：
越國策略選擇
從以上矩陣來看，吳國答應求和而越國進攻是不存在的，而吳國已經進攻了，越國後退求和也不大可能發生，因為求和沒有意義了。因此，在剩下的兩種情況中，吳國進攻，而越國抵抗，吳國可以獲得兩個收益值，即得到了土地，但失去了珍珠寶貝和其他錢財。相比之下，求和就成了他們的優勢策略了，各獲得了三個收益值，即吳國得到了它想要的，而越國保存了自己不被滅掉。
但吳王夫差是為父報仇才發動對越國的戰爭的，現在如果沒有一點報仇的表現的話，那他對死去的父親和全吳國的老百姓都無法交待，因此他必須要讓曾經打敗他的父親的勾踐付出沉重的代價。於是他也給求和加上了自己的條件，那就是越國不僅無條件地臣服於吳國，還要勾踐到吳國做三年奴隸。勾踐為了越國不被滅掉，隻好帶著範蠡來到吳國當馬夫。每天早上喂馬擦車，以備夫差打獵、遊玩；晚上棲身於石屋，守在闔閶的墳旁，期待三年一過，重返越國。最使勾踐君臣提心吊膽的是伍子胥，他常常勸吳王殺掉勾踐。因此，勾踐必須裝出萬分忠於吳王的樣子，而且不能讓吳王發覺有半點矯揉造作。範蠡為此煞費苦心，他聽到夫差病了，就勸說勾踐去嚐吳王的尿來為吳王確診病情，以感動夫差。這著收到了成效，夫差誤以為勾踐已經屈服了。就按約放勾踐回國了。
戰國時代的思想家莊子講過一個故事，說鬥雞的最高狀態，就是好像木雞一樣，麵對對手毫無反應，可以嚇退對手，也可以麻痹對手。這個故事裏麵就包含著鬥雞博弈的基本原則，就是讓對手錯誤估計雙方的力量對比，從而產生錯誤的期望，再以自己的實力戰勝對手。
勾踐在吳國受到了奇恥大辱，豈有不報之理，他心裏恨不得立即就把夫差千刀萬剮。但苦於國家力量不夠，所以回國後，他很怕被眼前的安逸消磨了誌氣，從而身邊總放著一個苦膽。坐臥飲食不忘先嚐苦膽，借以牢記會稽之辱。範蠡為勾踐製定了一套保民、富國、強兵的方針。勾踐親自耕田，夫人親自織布，食不加肉，衣不重彩，禮賢下士，賑貧恤死，深得民心，越國很快富了起來。在鬥雞定律看來，這是在增加自身的實力。以便在前進中增加更多的籌碼。
而相反，吳王夫差因勝利而驕傲自滿，為了讓他更加驕奢腐化，文種勸說勾踐向吳王進貢美女。越王勾踐派人專門物色最美的女子，結果在苧羅山上找到一個名叫西施的美人，勾踐就派範蠡把西施獻給夫差。西施到吳國後就與奸佞太宰伯豁一唱一和，設計讓吳王殺害了忠誠的相國伍子胥，這為越國除掉了心腹大患，也報了越王的一口鬱悶之氣，從此吳國的政治日趨腐敗。吳王夫差看不到越國是自己的心腹之患，一心想北上爭霸。公元前483年，他乘齊景公新死之機，伐齊，在艾陵打敗齊軍。公元前482年，吳王夫差通知中原諸侯到黃池（今河南封丘縣西南）開會。會上，吳晉兩國爭當盟主。結果歃血時，先吳後晉。魯、邾等小國也分別“賦於吳八百乘”和“六百乘”（《國語?楚語》）。所有這一係列勝利，更加讓吳王忘乎所以，也進一步加速了他的滅亡。就在吳王夫差參加黃池之會的時候，越王勾踐率兵攻進吳都，俘虜了太子友。夫差聞訊後，急忙從北方撤軍回國。
吳軍長途跋涉，疲勞不堪，無法抵抗越軍的進攻，夫差隻得派伯豁攜帶禮物去越國求和。越王勾踐估計眼下還不能滅掉吳國，就答應同吳國講和。為了滅吳，勾踐可以說是處心積慮，這裏他又施了一著欲擒故縱的好戲，故意給後退的鬥雞留一點麵子，使夫差不至於魚死網破，也使他有繼續享樂的理由，從而一點一點來消滅吳國。
就在夫差還沒有從溫柔鄉中醒過來的時候，四年後，越國再次進攻吳國，兩國軍隊在笠澤進行了一場大戰，結果吳國大敗，越國軍隊將夫差包圍在姑蘇山上。吳王派公孫雄向越王勾踐求和。勾踐想答應。範蠡說：“過去天意叫吳國滅掉越國，可吳國偏偏不幹；現在天意叫越國滅掉吳國，難道大王也要違背天意嗎?”吳使聞聽淚如雨下。勾踐就說：“請夫差遷到甬江以東，讓他管理一百戶人家。”夫差羞愧交集，感到無顏再見地下的伍子胥，就蒙麵自殺了，吳國就此滅亡。
夫差的死，從他自身來看，是他驕傲自大，低估了越王的實力，從而盲目樂觀高估了自己。以至於在越國君臣的蓄謀已久的算計下倒在了自己的刀下。以現在的眼光來看，越國君臣就是在蓄意謀殺，但從鬥雞定律來看，兩隻鬥雞如果有一方算錯了自己和對方的實力，那就會作出錯誤的決斷，從而使自己付出沉重的代價。吳王正是這樣的一隻鬥雞，所以倒下的隻能是他。
壟斷的訣竅
在鬥雞場上，兩隻鬥雞如果實力相差很大的話，實力強大的鬥雞理所當然地會選擇進攻，也就是前進，而實力弱小的自然會後退。後退是實力弱小一方的嚴格優勢策略。但是，如果弱小的鬥雞後退就失去了生存的機會的話，那弱小一方也會前進，放手一搏。在人類社會裏，特別是在弱肉強食的時期，弱小者即使選擇後退甚至是逃跑，也未必就能夠生存，所以在這種前提下，鬥雞再弱小，也得去鬥，這不免自取滅亡，但總比任人宰割要強得多。而人與雞最大的不同就是人有智慧，而且智慧還有差別，智慧高的就比智慧低的會更有競爭力，智慧在一定程度上也就是一種力量。所以實力的大小不是絕對的，而是變化的。曹操在官渡之戰中戰勝袁紹就是鬥雞定律的變化和運用。
東漢末年，天下大亂，軍閥混戰，中國社會進入弱肉強食的時期。此時，袁紹的實力最強，統治的地盤也就最大，而當時曹操隻是剛興起的一個小軍閥，地盤也不大，所以袁紹根本就沒有把他放在眼裏。但是當曹操把劉備打得落花流水，劉備逃命到鄴城（冀州的治所，在今河北臨漳西南）時，袁紹才感到曹操的威脅，認為他是個強大的敵人，由此決心進攻許都。
這時的曹操勢力仍然比袁紹弱小，但也並不是一隻任人宰割的小雞，而此時的許都的力量已經比袁紹的謀士田豐勸袁紹攻打許都時強了許多，因此這時候田豐不讚成馬上進攻許都。他說：“現在許都已經不是空虛的了，怎麽還能去襲擊呢?!曹操兵馬雖然少，但是他善於用兵，變化多端，可不能小看他。我看還是作長期的打算。”田豐正確地估計了曹操這隻鬥雞的實力，但他卻不能決定鬥雞是否前進，而袁紹才是決定是否前進的鬥雞，但他卻忽略了曹操的智慧力量，隻以現實的人數力量為依據，從而作出魯莽前進的決定，由此成全了曹操的成功。
袁紹沒有聽田豐的話，田豐一再勸諫，袁紹反而認為他擾亂了軍心，於是就把他關進了監獄；然後他向各州郡發出文書，聲討曹操。在這裏，田豐也有失策的地方，他雖然正確地估計了曹操的力量，但卻對自身的信心不夠，從而沒能想到更好的辦法來對付曹操，而一味地保守，當然就得不到袁紹的賞識了。公元200年，袁紹集中了十萬精兵，派沮授為監軍，從鄴城出發進兵黎陽（今河南浚縣）。他先派大將顏良渡過黃河，進攻白馬（今河南滑縣）。
這時候，曹操早已率領兵馬回到官渡，在這場戰爭的博弈中，他可以選擇退卻或是逃跑，但這樣的話，他就會被袁紹消滅，這明顯是他的劣勢策略；還有就是選擇前進，與袁紹放手一搏，這樣有兩種結果，一是被袁紹消滅，二是打敗袁紹從而壯大自己。這裏還存在打敗袁紹的可能，這就是未來收益值，有未來收益值，就存在博弈的動力，此時向前攻擊就成了他的優勢策略。當聽到白馬被圍時，曹操準備親自去救，他認為這正是鼓勵士氣的時候。但他的謀士苟或卻勸他說：“敵人兵多，我們人少，不能跟他硬拚。不如分一部分人馬往西在延津（在今河南延津西北）一帶假裝渡河，把袁軍主力引到西邊。我們就派一支輕騎兵到白馬，打他個措手不及。”曹操采納了苟或的意見，來個聲東擊西。袁紹聽說曹操要在延津渡河，果然派大軍來堵截。哪知道曹操已經親自帶領一支輕騎兵襲擊白馬。包圍白馬的袁軍大將顏良沒防備，被曹軍殺得大敗。顏良被殺，白馬之圍也解除了。正是這種分散敵人兵力的策略，曹操這隻鬥雞對袁紹的實力進行了側麵的試探，結果是袁紹並不如他表麵上那樣強大，曹操取得了官渡之戰的前期勝利，大大地鼓舞了士氣，為後麵的勝利打下了基礎。
袁紹一聽曹操救了白馬，氣得一蹦三尺高。袁紹又氣又急，馬上下令全軍渡河追擊曹軍。當時監軍沮授勸袁紹把主力留在延津南麵，分一部分兵力出擊。但是袁紹不聽沮授勸告，派大將文醜率領五六千騎兵打先鋒。這時候，曹操從白馬向官渡撤退。聽說袁軍來追，就把六百名騎兵埋伏在延津南坡，叫兵士解下馬鞍，讓馬在山坡下溜達。把武器盔甲丟得滿地都是。很明顯，如果按照沮授的建議，曹操是沒有這樣的設計機會的，這真是人急智窮，曹操將要實現他的第二次勝利了。
文醜的騎兵趕到南坡，正好看見曹操所設計的樣子，認為曹軍已經逃遠了，就叫兵士收拾那丟在地上的武器。就在此時。曹操一聲令下，六百名伏兵一躍而出衝殺過來。袁軍大驚，來不及抵抗，就被殺得七零八落，文醜也當場被殺了，曹操取得了官渡之戰中的第二場勝利。這兩場勝利都是以少勝多，大大地鼓舞了士氣，為全麵打敗袁紹拉開了序幕。但此時的袁紹還沒有看清自己的實力和對手的實力，在博弈論看來，這完全是一場信息不對稱的博弈，而在這種博弈中，完全掌握信息的一方就占有明顯的優勢了，而袁紹完全就像一個在黑暗中行走莽漢，失敗已經在前麵等著他了。
在鬥雞博弈中，對雙方實力信息的估計與預測是非常重要的，如果一方掌握了另一方的信息，形成一種不對稱的信息博弈。那麽掌握信息並對雙方實力作出正確預測的一方將獲得勝利。
兩場仗打下來，袁紹一點好處都沒有撈到，還損失了手下的顏良、文醜兩員大將。袁軍士氣低落。但是袁紹這個莽漢豈肯罷休，大有不達目的不罷休之勢，所以一定要追擊曹操，打敗曹操才甘心。在這種情況下，監軍沮授第二次勸阻說：“我們盡管人多，但不像曹軍那麽勇猛；曹軍雖然勇猛，可是糧食沒有我們多。所以我們還是在這裏堅守，等曹軍糧草用完了，他們自然會退兵。”這是一種後備而動的策略，如果實施的話，曹操要打贏官渡之戰恐怕還有相當大的難度，甚至被袁紹打敗以致吞並，可惜曆史隻有前進的腳步，沒有後退的還原點，英雄永遠定格在成功與失敗的曆史宿命中。
袁紹再一次沒聽沮授勸告，命令將士繼續進軍，一直趕到官渡，才紮下營寨。曹操的人馬也早已回到官渡，布置好陣勢，堅守營壘，兩軍打起了持久戰。在這種情況下，雙方的博弈形式又發生了改變，出現了雙方進攻，一攻一守，隻守不攻三種形式。雙方對攻，曹操人少，不利；如果曹操進攻的話，袁紹人多，袁紹獲利，這是曹操最不願意的；如果袁紹進攻，曹操想辦法殺傷袁紹的兵力，曹操獲利，這是他所期望的，因此，也是曹操的優勢策略；而隻守不攻的話，那就是實力的對耗。表麵上雙方都沒有損傷，但在戰爭中，實力弱的一方是處於不利的境地中的。這是鬥雞定律中的雙方都選擇後退，但收益值並沒有像在定律中所預測的那樣雙方都沒有麵子，而是不對等的，弱者的收益值更小。但此時的袁紹依然不知道自己的優勢策略是什麽，所以還在選用自己的劣勢策略。
袁紹看到曹軍守住營壘，就吩咐兵士在曹營外麵堆起土山，築起高台，讓兵士們在高台上居高臨下向曹營射箭。曹軍隻得用盾牌遮住身子，在軍營裏走動。袁軍消耗了弓箭卻一無所獲，但也讓曹操的軍隊很是害怕，所以長此以往，曹操這一方就會動搖軍心，因此，曹操必須得想辦法解決這個問題。曹操跟謀士們一商量，設計了一種霹靂車。這種車上安裝著機鈕，兵士們扳動機鈕，把十幾斤重的石頭發出去，打塌了袁軍的高台，許多袁軍兵士被打得頭破血流。
就這樣，雙方在官渡相持了一個多月，而這樣實力弱的一方的損失就暴露出來了。曹軍糧食越來越少，曹操眼看就要支持不住了，寫信到許都告訴苟或，準備退兵。苟或回信，勸曹操無論如何要堅持下去，但如果真的沒有糧草，想要堅持也堅持不了。
這時候，戰爭的轉機來了，袁紹不重用的謀士許攸來到曹操的大營。真是細節決定成敗，就因為袁紹把許攸狠狠地罵了一頓，結果許攸就轉投曹操了，這是官渡之戰中最關鍵的一個人，就因為他，袁紹想後悔都來不及。他向曹操獻計燒掉了袁紹在鳥巢的軍糧，結果正在官渡的袁軍將士聽說鳥巢起火，都驚慌失措。袁紹手下的兩員大將張邰、高覽帶兵投降。曹軍乘勢猛攻，袁軍四下逃散。經過這場決戰，曹操通過三次戰爭一舉消滅了袁紹的主力，從而奠定了一統北方的大好形勢。過了兩年，袁紹病死。曹操又花了七年工夫，掃平了袁紹的殘餘勢力，統一了北方。這裏的博弈樹如下：
從上麵這個矩陣我們可以知道，曹操之所以能夠贏得這場戰爭，就是因為他完全了解了戰場上雙方的信息，而袁紹則恰恰相反。戰爭的勝負也就是意料之中的事了。
由這場戰爭的勝負，我們可以明白，在鬥雞博弈中，對雙方實力信息的估計與預測是非常重要的，如果一方掌握了另一方的信息，形成了一種不對稱的信息博弈，那麽掌握信息並對雙方實力作出正確預測的一方將獲得勝利。
辯證地看待地方與中央
博弈論中的鬥雞定律是在假定參與雙方都是理性人的前提下得出的，而且假定了雙方的實力是勢均力敵的，從而得出了兩個納什均衡，也無法推知參與者雙方哪一方會前進，哪一方會後退。但是在現實中的鬥雞博弈往往是勢不均、力不敵的，但鬥雞博弈依然會發生，隻不過博弈過程中的進退也就變得可以預測了。當然，博弈的勝負結果並不見得就如博弈中優勢策略所預測的那樣，有可能要複雜得多。在我國曆史上，唐朝後期的中央政府與地方割據勢力的博弈就屬於這種變相鬥雞博弈，在這裏，我們不妨就拿唐朝後期唐中央政府與河北藩鎮的博弈形式來作重點分析，從中就可以領略鬥鳥博弈在具體曆史事件中的應用變化了。
唐在開元盛世時，國力強盛，周邊安定，但這種安定是以在邊境陳設了大量的軍隊換來的，由此也就造成了內地的軍隊和邊境的軍隊力量對比的嚴重失衡。特別是在河北的範陽，為了預防突厥的南下，唐玄宗把大部分精銳部隊都放在這裏，由安祿山統率。後來安祿山頻繁窺探長安的防守力量，結果一對比發現，竟然比他統率的軍隊要少得多，也弱得多。隨後，安祿山就進行了博弈，如果他從範陽起兵進攻長安的話，可能不到三個月就能打下，各地要完全集中到長安至少得四個月以上，而此時，他已經取得了長安，再以逸待勞，勝算就很大了，這是完全從實力來分析的。如果他進攻的速度出乎他的意料之外的話，一下子就把長安給圍住了，並且打下後又把李隆基給抓住了，那他就完全贏定了。而如果他不起兵的話，等到朝廷發覺了他對朝廷的威脅時，唐玄宗一定會削減他的兵力，甚至剝奪他的兵權，而且加強長安的防守力量，那時他要再起兵反叛的話，那就鹿死誰手，很難預料了。因此，與其等到唐玄宗來剝奪自己的權力，還不如趁長安的防守空虛來個突然襲擊，奪取大唐的天下。
從博弈論來看，當時的安祿山存在兩個選擇：反或者不反。反就得以一己之力來對抗貌似強大的大唐，結果就是要麽打敗大唐，要麽被唐給滅了，而從力量對比看，反有極大的機會能夠攻占長安，然後打敗大唐，這是一個巨大的**，這也是個絕好的機會，一旦錯過，就會時不再來了。如果不反，他或者繼續做他的範陽節度使，但是兵權肯定會逐漸被削弱，以致後麵沒有兵權；或者被調到長安做大唐的一個沒有實權的閑官。那是什麽作為都沒有了。從反與不反的收益值看。反大於不反，反是安祿山的優勢策略。因此，在這樣的背景下，就爆發了“安史之亂”，小鬥雞選擇了前進並進攻大鬥雞，之所以敢這樣進攻，是因為大鬥雞也有致命的地方，而小鬥雞正好就找到了這個地方，造成小鬥雞獲勝幾率大為增加，小鬥雞也就拚上了。從而拉開了唐中央政府與河北藩鎮的反複博弈局麵。
從上麵的矩陣來看，在安祿山看來，他造反的話，不管唐中央政府是否鎮壓，他都能夠獲得現實的收益值，而不造反的結果是不僅沒有現實的收益值，還有一無所有的可能。正是基於這樣的考慮，安祿山舉起了進攻唐中央的大旗。
安史之亂以後，大唐經過八年苦戰，終於打敗了叛軍，殺了安祿山，收複了長安，但付出了慘重的代價，嚴重損耗了國力，再也沒有力量根除安史餘部，隻好就地把安史餘部委以節度使。平叛中各地又新出了許多節度使，節度使們在其轄區的州縣及關津要隘都屯駐軍隊，並私自委任自己的部將去統率，又常兼任州刺史，軍政合一，還掌握著轄區的財政大權，建立數以萬計的軍隊，並且設立親兵，而親兵們就經常上演驅逐主帥的事變，擁立他人。這種事變在藩鎮中愈演愈烈，成為社會動**的一大根源，這也就是曆史上所說的唐後期的藩鎮割據的局麵。藩鎮割據大大削弱了唐王朝的統治，唐統治者不能容忍這種藩鎮勢力繼續發展，由此，在代宗、德宗和憲宗時期進行了曲折反複而艱辛的削藩鬥爭。
唐代宗時，為了加強中央集權，削弱藩鎮勢力，唐代宗李豫就利用藩鎮間的矛盾發動了一係列的削藩鬥爭。此時的河北藩鎮更是其他藩鎮的榜樣，擁兵對抗唐廷。於是唐代宗首先就得消滅他們，於是他就采用“以藩製藩”來進行削藩戰爭。但是由於他采用的是“欲取姑與”的政治策略來削藩，戰勝了一個反叛的藩鎮，卻又誕生了一個新的藩鎮，這就無異於“養癰成患”，而他的“以藩製藩”，也是打錯了如意算盤，結果是藩越削越多，形成一種惡性循環。當然，之所以出現這種局麵，也是與當時唐朝的實力有關係的。因為朝廷自己直接控製的軍隊不多，隻好借助各藩鎮的力量來牽製反叛的藩鎮。如果說唐代宗的失策，還不如說唐這隻鬥雞的實力從整體上不如反叛的藩鎮的實力，在實力對比中處於下風而不得不出如此下策。鬥雞是以實力為後盾的。
到了唐德宗時，剛開始時，由於正麵臨著內憂外患的混亂局麵，唐德宗李適開始了一係列的勵精圖治的措施。撤掉“梨園”，遣散宮女，采用宰相楊炎的建議，施行“兩稅法”，罷一切新舊征科名目；杜絕四方貢獻。嚴禁宦官接受賄賂，並撤毀貴戚渝製修建的豪華住宅。這些措施，使安史之亂後的社會政治風氣開始振作起來，舉國上下一片讚同。因此河北藩鎮也被李適的這一番政治措施給折服了，不敢輕舉妄動了。
但是，李適卻有個致命的弱點，就是剛愎疑忌，處事急躁，易聽信讒言。首先是因為聽信了讒言殺了有功的財政大臣劉晏，後又殺了很有才幹的宰相楊炎，於是，各藩鎮又開始不聽令於朝廷了。此時，唐德宗又輕易地發動了削藩戰爭，這樣就爆發了涇原兵變、朱沘叛亂。而河北藩鎮雖然不遵從唐中央政府的管轄，但也沒有與朱訛互相呼應。這實際上是在觀望唐是否有能力來平定叛亂，如果平定了就從表麵上服從管轄；如果不能的話，也就趁機叛亂，獲得更多的地盤。此時，唐也不想挑起與河北藩鎮的矛盾，從而增強反叛勢力，使平叛的難度加大，所以，兩隻鬥雞都後退了一步。
因此，唐與河北藩鎮的矛盾居於次要地位。在這種背景下，大唐的昭義節度使李抱真就利用王武俊和朱滔的矛盾，勸說王武俊歸順朝廷。而德宗此時正是處在最為困難的奉天之圍之時，立即就接受了李抱真的建議，派人向田悅、王武俊、李納說明，答應赦免他們的罪過。並給以優厚的官爵，使他們歸順朝廷。三人看到割據的地位可以得到承認，就秘密向朝廷表示歸順的誠心。
興元元年（784年）春，德宗下罪己詔，宣布大赦天下。詔令中說：“李希烈、田悅、王武俊、李納，成以勳舊，繼守藩維，朕撫馭乖方，致其疑懼，皆由上失其道而下罹其災。一切並與洗滌，複其爵位，待之如初。”除朱訛之外，“並從原宥”。這個詔書雖然不能從根本上改變藩鎮割據的狀況，但對於緩和與河北各藩鎮的矛盾，把矛頭集中指向朱訛、消滅朱訛：還是起到了一定作用。王武俊、田悅、李納見到赦詔，都自去王號，上表謝罪。德宗任命王武俊為恒冀深趙節度使，李納為平盧節度使，而田悅早已為魏博節度使，此時，特加檢校左仆射官號。朱滔因與朱訛相呼應，出兵南下，和田悅發生矛盾，而攻打魏博，後被李抱真和王武俊擊敗而一蹶不振，退回幽州。
貞元元年（785年）朱滔病死，將士們擁立劉怦為主帥，朝廷就任命劉怦為幽州、平盧節度使。貞元二年（786年），李希烈被部將陳仙奇所殺，陳仙奇歸降朝廷，朝廷任命他為淮西節度使。後來吳少誠又殺死了陳仙奇，自為留後（唐代藩鎮的一種官職，為節度使、觀察使缺位時由他人代理他們的職權的一種職位），朝廷就又任命他為淮西留後。德宗對藩鎮的戰爭，最後以承認藩鎮既得利益的妥協政策而宣告結束。在這場博弈中，唐雖然是隻前進的鬥雞，河北藩鎮做了後退的鬥雞，但是河北藩鎮保存了既得的利益，甚至還增加了現實收益值。很明顯，妥協是他們的優勢策略；而唐也獲得了削藩形式上的勝利，從而贏得了麵子。前進也是它的優勢策略，但它這種前進是以妥協為前提的。此時的博弈矩陣又變為：
鬥雞是以實力作為後盾的，而在博弈的過程中，各方都遵循著嚴格的優勢策略，所謂的忍讓、妥協、共存，正是在嚴格優勢策略下采取的臨時措施，一旦自己的實力足夠擊敗對手，鬥雞之間的廝殺也就在所難免。
唐憲宗時，唐的實力逐漸增強，出現了“元和之治”，因此，在對待河北藩鎮的問題上，就采取了積極進攻的態勢，開始了大範圍的削藩戰爭。平定了西川、鎮海、淮西後，河北藩鎮的三鎮中，已有兩鎮直接歸附了唐中央，隻有盧龍的劉總陽奉陰違，暗地裏與反叛藩鎮相勾結。但等到所有反叛藩鎮都被平定以後，他就乖乖地歸附了唐中央，由此，唐中央政府完成了形式上的完全統一。
總之，唐後期中央政府與對方的博弈就是一種鬥雞博弈的不斷反複的過程，彼此之間幾乎都是遵循鬥雞定律的嚴格優勢策略來進行的。中央政府強大，地方勢力就服從中央，采用後退的優勢策略；中央政府弱小，地方就反叛，不服中央政府的管轄，采用進攻的優勢策略，從而從中央政府那裏獲得更多的現實收益值。因此，在這場博弈中，中央政府的實力如何就成了鬥雞中進退的關鍵。
對台戲的學問
我們常說，人需要審時度勢，相機而動。在博弈論看來，人在某種意義上說，就是鬥雞場上的鬥雞，如果兩隻鬥雞進行博弈的話，就必須對雙方的實力進行預測，對自己的現實收益值和預期收益值進行預測，再來選擇是前進還是後退。如果不進行預測而魯莽行事的話，就很有可能兩敗俱傷或者弱小的一方被滅掉。也就是說永遠要唱對台戲是要以實力作為後盾的，並且在唱之前還得分析現實的收益值和預期收益值，否則就會得不償失。而我國唐代的牛李朋黨之爭就以生動的事例說明了這一點。
在唐代肅宗和代宗以後，進士增多。而唐代官員本來是有定額的。武後時雖增加了官的名額（稱為流外官）；但終不能使及第的進士，都能順利地任命為官，為官之途就變得越來越難了。世家大族與及第的進士都要求為官，而官的名額又不能容納，勢必發生競爭，競爭時個人力量有限，需要結納誌同道合的人彼此相助，自然就要拉幫結派了。世家大族因長於經學，就主張科舉應注重經學；進士們長於他們及第的詩文，就主張科舉應注重詩文。他們更由對科舉的見解不同，進而上升到對政治的見解不同，其實都是因為要維護各自的既得利益和預期利益而發生爭執，從而朋黨之爭也就無法避免了。
牛李朋黨之爭開始於唐憲宗元和二年（808年）李吉甫為相的時候，李吉甫主張以武力製裁藩鎮。次年，策試賢良方正直言進諫。進士牛僧孺、李宗閔、皇甫浞等都指陳時政的不是。李吉甫就向皇帝哭訴情由，唐憲宗就罷免了考官，牛僧孺等一批人也就沒有得到任用。李吉甫的兒子李德裕對牛僧孺、李宗閔等人也是很不滿意，這就是牛李兩黨結怨的開端。等到唐穆宗長慶元年（821年）楊汝士（右補闕）、錢徽鎮（禮部侍郎）掌管貢舉。段文昌（西川節度使）、李紳（翰林學士）各以書屬所書進士。等到張榜，兩人所屬都落榜了，而上榜的人有李宗閔的女婿蘇巢、楊汝士的弟弟楊殷士、裴度（河東節度使的兒子裴撰和鄭覃（諫議大夫）的弟弟鄭朗等。段文昌對穆宗指出考試不公正，穆宗問各位翰林學士，李德裕、元稹、李紳等都認為段文昌說得有道理。穆宗就下命令重新考試，結果把原來及第的進士，罷黜了十人，並把考官錢徽鎮、李宗閔等分別貶官離京。從此李德裕和李宗閔仇怨更深，各樹朋黨，互相傾軋。
兩黨采用了對攻的策略，這明顯不是鬥雞策略中的優勢策略，但同時也說明，兩隻鬥雞實力上並沒有很大的差別，但這一回，牛黨處於劣勢，他們的一個領導人被貶出了京城。
牛黨主要領導人有牛僧孺、李宗閔、李逢吉、楊汝士、白敏中等。李黨主要領導人有李德裕、裴度、元稹、鄭覃、李紳等。李黨人以世族為主，也有由進士出身的，如元稹。牛黨人以進士為主，也有個別出身世族的，在出身上並非絕對的涇渭分明。
大體上李黨多以經學為宗，而牛黨大多有放浪形骸的行為。兩黨都沒有什麽明確的黨綱，也沒有嚴密的組織規章。因為那時權力最大的皇位，絕不是沒有武力的士大夫所能奪取的，他們所要爭的目標是一人之下萬人之上的相位和中央的重要官職；又因當時宦官專政可以左右皇帝，所以兩黨都要結納乃至取悅宦官以為援助。牛黨利祿心較重，不得誌時盡力鑽營，得誌時又要排除異己引進同類，因此在政治上難有建樹。李黨具有功利心，得誌之後，對內對外都有政績表現，但為求得建樹事功的機會，又不得不以擊敗牛黨為先決條件，所以兩黨在朝廷上都難免有意氣之爭。牛黨的假公濟私固然不可取，李黨的李德裕也不免以怨報德。李黨為建立事功，必須強化中央的權力，所以對內部的藩鎮和國外的外患，都主張用武。牛黨為適應他們的理想（把持政權，過其奢靡生活），就對內對外一概主張息兵和平。以至於熏蕕不同器，水火不兼容。但不管哪一派得勢，都必須以打倒另一派為先決條件，而另一派又往往不會主動地退卻，這就是人性弱點，總不甘心自己的既得利益受到損失，因此造成弱小一方的全麵失勢，從而造成國家的巨大損失。
這就好像博弈論中的囚徒困境，遭到報複的囚徒一定會反報複，這樣就形成了一個惡性循環，最終隻有兩種選擇：要麽走上合作，要麽兩敗俱傷，一起敗亡。
兩黨爭鬥由於實力的起伏變化而造成了雙方在博弈的過程中各有勝負，而這種起伏變化是交替上升的。
唐穆宗時，主戰派宦官首領吐突承璀被反對派的宦官王守澄所殺，因此主張“和”的牛黨得勢。李逢吉乃請穆宗引牛僧孺為相（官同平章事），合謀傾軋，貶李德裕為浙西觀察使，八年不遷。一時牛黨把持朝廷，李黨多被排斥於外。翰林學士李紳被排擠，貶為江西觀察使；裴度出任山南西道節度使。牛黨勝出，這也是李黨實力比牛黨要弱的反映。退卻也是他們的優勢策略。
在反複博弈中，如何使得收益最大化，是最難把握的問題，因為反複博弈的整體過程容易積累太多的矛盾，這些矛盾可以幹擾人的理性選擇。
唐穆宗在位隻有四年，就因中毒而死。太子湛繼位，就是敬宗。敬宗繼位後，因裴度曾上書擁戴他而且德高望重，因此就下詔加封裴度為同平章事（即宰相）。因牛僧孺當宰相而沒有什麽政績，就把他貶為武昌節度使，李逢吉貶為山南東道節度使。李德裕在浙西上書言六事，敬宗下詔答應了他。李黨漸漸占了優勢，但這種優勢並沒有持續多久，隨著敬宗為宦官所弑，他們的優勢又化為烏有。
江王李涵繼位後，就是文宗。文宗能夠恭勤寬儉，有美德，但是優柔寡斷。遇事常不能堅持決斷，這主要是因為朝政被宦官把持，他沒有完全的決斷權。李德裕在浙西政治修明，軍民悅服，文宗聽到後，就召他為兵部侍郎，裴度被推薦為宰相。但是牛黨的李宗閔得到宦官的幫助，當上了吏部侍郎同平章事（宰相）。他痛恨李德裕威逼自己，因此貶他為義成節度使，把牛僧孺從武昌召到朝廷，並推薦他為兵部尚書同平章事（宰相），二人一唱一和，都很痛恨裴度推薦李德裕，先後貶裴度為山南東道節度使，李德裕（由義成）貶為西川節度使。正是他們從私利出發，以致排擠了國家的有用人才，使唐代後期中興無望，從某種意義上說他們也是誤國之賊。
李德裕到成都以後，訓練士卒，修築城堡，整理戶籍，儲積糧草，蜀人終於被安定下來；他又向南詔索回被掠去的四千餘戶老百姓。吐蕃副使悉但謀用號稱“無憂城”的維州來向他投降。李德裕接受了他的投降，派兵進駐維州城。將士在奏折中說明了這件事，文宗就下詔百官集議。大多數人都認為李德裕有功，但牛僧孺卻說唐與吐蕃正在和好，不可以因此而放棄了誠信，這樣就會失去和平，激起吐蕃進攻長安。優柔寡斷的文宗竟然聽信了牛僧孺的話，下詔命令李德裕把維州城歸還吐蕃並把悉但謀送還（吐蕃把悉但謀和其部下都處死）。事後有些人向文宗指明失策，文宗又後悔了，於是就把牛僧孺貶為淮南節度使，任命李德裕為兵部尚書守本官同中書門下平章事。李宗閔千方百計想阻止，但沒有獲準，就有些感到不安，於是自動罷相，自願做山南西道（興元）節度使。這樣李黨勢力又取得了優勢。但牛黨對李黨的攻擊並沒有停止，楊嗣複、李旺相繼為相，牛黨又轉盛。文宗時常感歎說：“去掉河北叛賊容易，想根除朝中的朋黨就很難了。”
開成五年（840年）文宗病重，宦官仇士良等假傳聖旨立穎王李炎為皇太子，廢掉太子成美。文宗駕崩，李炎殺了成美，於是就接了皇位，這就是武宗。武宗即位後，因為他做皇帝並不是牛黨的意願，所以就任命李德裕為相（官職為門下侍郎同平章事）。
武宗英明有為，信任李德裕。李德裕主政六年，內馭宦官，使他們不得幹政；平定了河北的藩鎮和昭義的叛變；對外打敗了回鶻並招撫了黠夏斯，政績卓著。在平定昭義的叛亂之後，李德裕趁機追查牛黨與昭義相互交好而養蘺成疸的過失，終於貶牛僧孺為循州長史。李宗閔長期流放封州，李黨全麵獲勝。
會昌六年（846年）武宗駕崩，宦官馬元贄等立皇太叔（光王忱）繼位，這就是宣宗。宣宗即位後，非常討厭李德裕的專斷，牛黨的白敏中乘機竭力排擠他。宣宗先是罷免了李德裕的相位一職，然後一貶再貶，最後貶為屋洲司戶。
大中三年（849年）李德裕老死家中，牛僧孺已於兩年前（847年）就死了。牛黨、李黨的爭鬥，最終是兩敗俱傷，而唐代的朋黨之禍也就停止了。
自從憲宗時兩黨開始結怨起，到這個時候已經有四十多年了。又因為兩黨的人士多把精力用於排擠對方，從而造成對國家政治大事不能投入全部精力。這也是安史之亂後唐代再也不能恢複開元以前盛世局麵的原因之一。
在這個矩陣中，由於牛李兩黨的實力並不是恒定的，所以他們的位置和結果總是交替變化的。
牛李黨爭在博弈論上其實也是一種反複博弈的過程，他們有合作的可能，那樣唐王朝將獲得最大收益值。
但是他們卻一直沒有走出一報還一報永久循環的形式，而隻要有一方妥協並與對方合作的話，那就將使雙方都獲得最大的收益值。人類的政治規則永遠都要比博弈論中的假設複雜得多。
戰國的兩個太陽
在鬥雞定律中，參與者隻有兩個，由此而出現了兩個納什均衡點，而使博弈的結果難以預測。而如果出現了三個或三個以上的參與者，那麽就很難出現穩定的納什均衡點。而此時參與的鬥雞策略選擇就要多得多和複雜得多。
首先，兩隻鬥雞都可以選擇前進，結果是兩敗俱傷；其次，它們當然也可以選擇一進一退的策略，出現兩個納什均衡，使其中一方獲利而另一方也不吃虧；再次，它們可以都選擇後退，這樣誰也不得利：最後它們也可以聯合起來共同對付第三個參與者，並從第三個參與者身上獲得各自應得的利益。
當然，它們中的一個也可以聯合第三方來對付另一方。但由於地理位置的關係，當它們聯合第三方攻擊另一方時，一旦打敗了另一方，此時在利益分配上就有很大一部分屬於第三方，而自己所得無幾，甚至一無所獲，這是兩隻強人的鬥雞的嚴格劣勢策略，是它們兩者都不願意幹的事。
這種博弈的形式在戰國後期的秦國和齊國的身上就有充分的體現。
戰國後期各國的兼並戰爭更加激烈，通過殘酷的兼並戰爭，秦國和齊國逐漸強大起來，而其他五個國家則逐步衰落下去。此時，如果秦國與齊國相互對攻的話，那麽相對較弱的五個國家就可以坐山觀虎鬥並從中獲利。
如果秦國或者齊國聯合五國攻打對方，那麽不管是誰都無法從鄰國身上得到它們想要的土地，因為你如果又想跟五國聯合又想從五國得到土地，那麽五國肯定不會跟你聯合（聯合不僅不能獲利，反而要失去土地，聯合沒有收益值，無人願意幹）。
如果聯合成功，打敗了秦國或者齊國，在分戰爭成果時又存在一個最近原則。秦國與齊國中間就夾著五國，所以任何一方聯合五國打敗了對方也不可能得到預期的收益值，並且還會使五國趁機強大起來，這是秦國與齊國都不願看到的，所以聯合五國在此時是不可能成功的。
但是秦國與齊國聯合一起攻打五國，卻完全有可能，因為兩者都可以從中得到現實的好處，從五國得到土地。所以公元前295年，秦國免除了趙武靈王所信任的樓緩的相位，改用魏冉為相。
第二年，齊國也采取祝弗的計謀，驅逐了親魏的大臣周最，改任秦的五大夫呂劄為相。秦國為了便於攻取韓魏的土地，齊國為了便於滅亡宋國，相互聯合起來。
從它們各自的目的就可以看出來。聯合最大的獲益者是秦國，它可以得到兩個國家的土地，而齊國隻能得到一個國家的土地。但是如果不聯合的話，齊國就不能得到宋國的土地，同理秦國也得不到韓魏兩國的土地，兩個都沒有收益值。而聯合後齊國雖然得到的比較少，但比不聯合強多了，因此我們認為，聯合是它們的優勢策略。
由於秦齊兩國的聯合，韓魏遭到秦的大規模進攻。公元前293年，秦將白起在伊闕（今河南洛陽市東南）打敗韓魏兩國軍隊，斬首二十四萬多人。公元前288年左右，魏昭王通過趙國李兌的關係獻地與趙惠文王，企圖依靠趙國來攻打秦國。正當這個時候，宋國發生內亂，趙齊聯合攻宋，而秦乘機攻趙。這時，李兌雖然發起了趙、韓、魏、楚、齊五國攻秦，但因齊國不能切實合作，隻好無功而罷。齊國之所以不願合作，也是因為怕其他四國從中得利，而自己卻得不到許諾的現實利益（遠離秦國）。
自楚衰後，在秦、齊、趙三強鼎立而鬥爭的形勢下。並且齊秦在列國中已經形成了東西對峙的局麵。而此時，秦國最擔心齊國與其他四國聯合起來對自己不利，更是為了打擊鄰近自己的趙國這個惟一能夠在三晉之地與它相抗衡的國家，於是秦昭襄王采用了秦相魏冉的連橫的策略，聯合五國一舉攻滅趙國。
因為當時各國都已先後稱“王”，“王”號已不足尊貴，魏冉就采用秦齊並稱為“帝”而連橫的策略。“帝”原來本是天帝的稱號，這時從天帝神話演變而成的黃帝傳說已很流行，齊威王還因此製作了陳侯因（齊）敦，銘文就是“高祖黃帝”，已把黃帝作為田氏遠祖，由此也可以看出“帝”在古史傳說中已成為德行比“王”高一級的稱號，因而魏冉就用“帝”來作為秦齊兩強君主連橫結盟的最高稱號。秦昭王對此早有準備，公元前290年昭王就曾到宜陽，這年韓的成陽君和東周君來朝，此時宜陽早已建有朝見的行宮。
公元前288年十月秦昭王就在宜陽自立為“西帝”，就是《呂氏春秋?應言篇》所說“秦王立帝宜陽”；同時派魏冉前往齊國，約合齊王同時把尊號升高一級，向齊滑王致送“東帝”的稱號，並且邀約五國訂立了共同伐趙的盟約。
因為這時趙正是東方各國合縱的盟主，魏相薛公（即孟嚐君）就曾“身率梁王與成陽君北麵而朝奉陽君於邯鄲”。所謂“北麵而朝奉陽君於邯鄲”，當是趙相李兌會同魏相田文率領魏昭王、韓成陽君在邯鄲朝見趙惠文王，並獻河陽、姑密作為李兌之子的封邑。這是秦趙兩強在連橫合縱的形勢下，相互激烈鬥爭的關鍵時刻，齊正處於舉足輕重的地位。
所以這一提議，一方麵表示了他們的特殊地位，同時也有著秦齊平分天下的意義，企圖達到離間齊與東方其他國家的關係，阻撓它們的聯合。齊滑王看到強大的秦國都願意跟齊國並駕齊驅，心裏別提有多高興了，一下子覺得自己好像強大了很多一樣，更何況人都喜歡戴高帽子，秦國一下子就承認了他是至高無上的“東帝”了，所以齊滑王很高興就接受了秦國的建議，他也承認了秦昭襄王為“西帝”。那麽齊秦聯合稱帝後，誰是最大的贏家呢?對此，《戰國策》有具體的記載。
在鬥雞定律中，參與者隻有兩個，由此而出現了兩個納什均衡點，而使博弈的結果難以預測。而如果出現了三個或三個以上的參與者，那麽就很難出現穩定的納什均衡點，博弈的策略選擇也會出現多樣化，勢均力敵的鬥雞定律在這裏也會發生變化，甚至會出現背離鬥雞定律的情況。
《戰國縱橫家書》記載了秦齊稱帝的意圖和它們聯合的最終結果。秦國和齊國稱帝後，齊就攻打宋國，秦就攻取了魏國的上黨，韓魏屈從了秦國，這樣秦國進而攻打趙國，這樣秦又攻取了韓的上地（指趙從韓奪得的上黨），齊國也趁機攻取了趙國的河東。
然後秦國又攻取了韓國的上地（指韓之上黨），齊國則攻取了燕的陽地（指黃河以北，齊、燕交界處的燕地）。他們不僅攻打韓趙魏三國，而且還攻打楚國，秦國攻取了楚國的鄢地，齊國則攻取了楚國的東國（指楚的東地）、下蔡（即蔡國所遷的東來）。
但是我們可以看到，齊國攻占楚國的土地後，其實很難管理，因為它們遠離齊國本土，很容易被其他四國從中攔截，對齊國來說，用處並不大。而秦國則不同了，它攻占了漢中和巴地後，已經和現在所攻占的土地連接起來了，使它的勢力範圍大為擴大。
雖然它們兩國攻占的土地相差不大，但秦國幾乎都是本國土地的自然延伸，即使四國聯合攻打秦國，秦國也是東麵和南麵受到攻擊，而南麵是懦弱膽小的楚國，攻擊力很有限，更何況還有黃河天險和函穀關可以把守；而齊國就不同了，它攻取了其他四國的土地，四國都與它接壤，可以從三麵進攻齊國（齊國東臨大海），而且齊國與四國之間並沒有什麽天險可以阻隔的，所以一旦四國聯合攻打齊國的話。齊國就比秦國危險多了。
因此，從這次聯合的實惠來看，秦國要比齊國實惠得多，擔的風險要比齊國小得多。
這很有點博弈論中的帕累托優勢的味道，在一個博弈一旦存在兩個納什均衡，而另一個均衡點具有帕累托優勢的時候。即使另一個均衡要冒更大的風險，但博弈參與者也會選擇它。而這裏齊國與秦國聯合攻打其他四國，具有很大的現實收益值，即使這種收益要擔被四國三麵攻打風險，但齊國還是選擇了它，這就說明聯合攻打具有帕累托優勢。
但是，不久齊王就接受了蘇秦的計謀，認為“伐趙不如伐宋之利”，要天下“愛齊而憎秦”，以便“間舉宋”，乃廢除帝號，表示和各國平等。齊王受勸複稱王後，秦昭襄王也隨之取消了帝號。
秦齊兩國互尊為帝的鬧劇的時間不長，兩個太陽照耀戰國的時期也隻是曇花一現，但由此可見當時兩國勢均力敵的情形。
總之，在出現多個參與者的博弈中，博弈的形式會更加複雜，博弈的策略選擇也會出現多樣化，勢均力敵的鬥雞定律在這裏也會發生變化，甚至會出現背離鬥雞定律的情況，這是因為參與者的增加所造成的。
但是如果我們隻研究博弈中兩者的關係，那麽，我們就可以看出，齊秦這兩隻鬥雞的聯合在博弈的過程中，隻是鬥雞定律中的兩者都後退的策略選擇的一個變化而已，雖然在這個博弈中它們都獲得了一定的收益值，但這種收益值不是從對方的身上得到的，而是從第三方參與者的身上得到的。
由此可見，鬥雞定律中的所謂優勢策略隻是在條件完全假定的情況下出現的，一旦條件出現變化，優勢策略也會隨之而變。